Fils d'un universitaire protestant de Montpellier, issu par sa mère, née Le Cœur, d'une célèbre famille d'architectes, François Coulet, entre aux Affaires étrangères par le grand concours en 1935. Affecté successivement à Moscou puis à Helsinki, il est témoin de la résistance héroïque du peuple finlandais à l'invasion soviétique au début de la 2e guerre mondiale et ne tarde pas à se rallier à la France libre. Il effectue pour celle-ci de nombreuses missions, notamment au Tchad, juste après Pleven, et en Palestine. Chef de cabinet du général de Gaulle, il est nommé, après le Débarquement, commissaire de la République en Normandie, en vue de rétablir les institutions républicaines. Il est nommé en 1947 ambassadeur en Finlande, en 1950 à Téhéran puis en 1954 en Yougoslavie. Pendant la guerre d'Algérie, il s'engage dans l'armée d'active et forme les commandos de l'air. Fidèle du général de Gaulle, il garde ses distances avec les généraux putschistes et l'OAS, à la différence de nombre de ses camarades. Il épouse en secondes noces Natalie Sullivan, divorcée de Quintin Hogg, homme politique britannique.

Don de la veuve de François Coulet en 1984, au décès de celui-ci.

François Coulet a publié un ouvrage autobiographique, Vertus des temps difficiles. La lecture de ce volume ne doit pas détourner de ses archives, remises à son décès par sa veuve. On note l'intérêt de la correspondance personnelle, qui comprend souvent des avis tranchés sur la situation internationale, le fonctionnement du poste et les personnes. Le fonds comprend aussi des manuscrits non publiés, notamment sur de Gaulle, dont il fut un proche collaborateur. Les carnets rendent compte au jour le jour des événements historiques auxquels il a assisté : débarquement de Normandie, putsch des généraux en Algérie en avril 1961, etc.  Le bulletin présent dans les articles 25 à 28 a été publié alors qu'il était conseiller politique de la société « information et entreprise » : rédigé en anglais, il comprend de nombreuses réflexions d'intérêt général sur la politique intérieure et extérieure de la France, par exemple sur les accords d'Helsinki, le pétrole algérien, la peine de mort, etc.

Librement consultable.

Le fonds Coulet a fait l'objet d'un répertoire numérique.

Deux ensembles de photographies de François Coulet sont conservés dans la collection iconographique.

Plusieurs universitaires se sont intéressés à la carrière de François Coulet. Marie-Danielle Demélas, professeur à l'université Sorbonne nouvelle, a présenté en détail la carrière et la personnalité de celui-ci dans son ouvrage sur les parachutistes (Parachutistes en Algérie, 1954-1958, Paris, Vendémiaire, 2021, p. 163-174). Elle a par ailleurs publié deux articles qui l'évoquent à l'occasion des commémorations de la libération de la Corse et du débarquement en Normandie : « Corse, 1943. Les armes du bataillon de choc », Gazette des armes, n° 565, juillet-août 2023, p. 68-76. Et « Pas de colt pour Monty », Gazette des armes, n° 575, juin 2024, p. 52-57. Sur le ralliement de Coulet à la France libre, on lira aussi : Catherine Nicault, « Entre la fidélité à l'État et les premiers ralliements à la France libre : les diplomates français en 1940 » dans Jean-Paul Pellegrinetti avec la collaboration de Jérémy Guedj (dir.), La Méditerranée en passion. Mélanges d'histoire contemporaine offerts à Ralph Schor, Paris, Classiques Garnier, 2015, p. 423-439.